概率论：分赌注问题理论分析+matlab实现
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赌注问题.docx 184.86KB - duzhu.m 919B
资源介绍:
问题描述：水平相同的两个赌徒A和B，约定先胜t局的人赢得赌注，在赌注中的某时刻，两赌徒中止赌博，此时A胜r局，B胜s局，应如何分配赌注？ 分析解决：利用概率论相关知识，将具体问题抽象为数学问题，计算出理论结果。再利用matlab进行题目仿真，经多次仿真得到仿真数据。 其中，给出了具体推导过程，matlab源代码以及流程图。 重要性：赌注问题称为概率论的起源。当荷兰数学家惠更斯（Huygens,C.）到巴黎时，听说费马和帕斯卡在研究赌注问题，也进行了研究，并在1657年撰写了《论赌博中的计算》一书，提出数学期望的概念，推动了概率论的发展。
赌注问题
一问题描述及背景
水平相同的两个赌徒 A 和 B，约定先胜 t 局的人赢得赌注，在赌
注中的某时刻，两赌徒中止赌博，此时 A 胜 r 局，B 胜 s 局，应如何
分配赌注？
------- 这 个 问 题 通 常 称 为 点 数 问 题 ， 由 嗜 好 赌 博 的 法 国 学 者 梅 雷
(Meray,H.C.R)于 1654 年向法国数学家帕斯卡(Pascal,B.)提出的。为此帕斯卡和法
国数学家费马（Fer-mat,P.de）于 1654 年 7 月到 10 月之间进行了一系列通信讨
论。赌注问题称为概率论的起源。当荷兰数学家惠更斯（Huygens,C.）到巴黎时，
听说费马和帕斯卡在研究赌注问题，也进行了研究，并在 1657 年撰写了《论赌
博中的计算》一书，提出数学期望的概念，推动了概率论的发展。
二问题分析与解决
两赌徒水平相同，所以每人每局获胜的概率均为
1
2
，A 获胜与 B
获胜为对立事件，所以求最后赌注的分配就是求 A 与 B 获胜的概率。
假设先前获胜局数 r>s，
若 A 最后获胜，那么最少需要再进行 t-r 局（之后 A 一直连胜，
直至最终获胜），最多需要进行 2t-r-s-1 局（A 与 B 各差一局获胜）。
假设 A 在第 n 局时最终获胜。
则 A 在前(n-1)局获胜了(t-r-1)局，且在第 n 局获得胜利，则 A 在
前(n-1)局获胜局数 X 满足二项分布
X~B（n-1,
1
2
）
所以获胜在前(n-1)局获胜了(t-r-1)的概率为
P(X
=
t−r−1)
=
𝐶
𝑡−𝑟−1
𝑛−1
(
1
2
)
𝑛−1
所以 A 在第 n 局最终获胜的概率为
P
An
=
𝐶
𝑡−𝑟−1
𝑛−1
(
1
2
)
𝑛−1
×
1
2
=
𝐶
𝑡−𝑟−1
𝑛−1
1
2
𝑛
而在第(t-r)局到第(2t-r-s-1)局之中，A 均有可能获胜，
故 A 最终获胜的概率为
P
A
=
2𝑡−𝑟−𝑠−1
𝑛
=
𝑡−𝑟
𝐶
𝑡−𝑟−1
𝑛−1
(
1
2
)
𝑛
所以 B 最终获胜的概率为
P
B
=
1−P
A
=
1−
2𝑡−𝑟−𝑠−1
𝑛
=
𝑡−𝑟
𝐶
𝑡−𝑟−1
𝑛−1
(
1
2
)
𝑛
同理可得
当 r<s 时
P
A
=
1−
2𝑡−𝑟−𝑠−1
𝑛
=
𝑡−𝑠
𝐶
𝑡−𝑠−1
𝑛−1
(
1
2
)
𝑛
P
B
=
2𝑡−𝑟−𝑠−1
𝑛
=
𝑡−𝑠
𝐶
𝑡−𝑠−1
𝑛−1
(
1
2
)
𝑛
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m0_53140426
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