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AHP中不一致性判断矩阵调整的新方法.pdf 203.17KB
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2004 年 6 月 系统工程理论与实践 第 6 期
文章编号: 100026788
(
2004
)
0620084209
AHP
中不一致性判断矩阵调整的新方法
骆正清
(
合肥工业大学管理学院, 安徽 合肥 230009
)
摘要: 设计了一种交互式的算法, 用该算法调整不一致性判断矩阵, 可以得到多个满足一致性要求的
合理方案, 专家或决策者可根据自己的意愿, 从这些方案中选择一个满意的方案. 实验表明: 该算法是有
效的、可行的.
关键词: 层次分析法; 判断矩阵调整; 交互式算法
中图分类号:
O
223 文献标识码:
A
A N ew M ethod for A djusting Inconsistency
Judgm ent M atrix in AHP
LUO Zheng
2
qing
(
Schoo l of M anagem ent
,
Hefei U niversity of Technology
,
Hefei
230009,
China
)
Abstract
:
A n interactive algorithm for adjusting inconsistency judgm ent m atrix is p roposed
.
By the
algorithm
,
several rational so lutions can be obtained
,
and tho se so lutions fit to the consistency require
.
M eanw hile experts o r decision m aker can choo se any one from the solutions by them selves p references if
only they thank that the so lution is satisfying
.
Experim ents indicate that the algo rithm is effective and
p ractical
.
Key words
:
analytic hierarchy p rocess A HP
;
adjustm ent of judgm ent m atrix
;
interactive algorithm
收稿日期: 2003208204
资助项目: 国家自然科学基金
(
79800024
)
作者简介: 骆正清
(
1963-
)
, 男, 安徽繁昌人, 博士, 副教授. 研究方向: 多目标决策, 企业知识管理
1 引言
作为一种定性与定量相结合的决策工具, 层次分析法在相关领域得到了广泛的应用. 然而, 运用该方
法进行方案排序时, 构造出来的判断矩阵往往不能满足一致性要求, 因此, 如何调整已构造出的判断矩阵
并使之通过一致性检验, 一直困扰着人们. 近年来有些学者已提出了一些调整方法, 这些方法总体上可归
为两大类: 一类可称为机械法
[1- 4]
, 一类可称为主观法
[5, 6 ]
. 所谓机械法, 即当由专家或决策者
(
统称为判
断者
)
构造出的判断矩阵不满足一致性要求, 可依据一定的规则, 由计算机自动调整判断矩阵
(
或由专业人
员计算
)
, 直至满足一致性要求为止. 机械法的不足是: 调整过程中没有判断者参与; 并且有的方法只有唯
一解, 有的方法得到的判断矩阵一般都带有小数. 很显然, 带有小数的调整方案不符合判断者心理期望,
尽管有多个解, 判断者也不愿意从中选择. 对于只能得到唯一解的调整方法, 也不是很合理. 这是因为:
导致判断矩阵不一致的因素有时比较复杂, 比如, 它既可能是判断矩阵中某一元素取值过大造成的, 也有
可能是其它元素取值过小造成的. 所谓主观法, 就是判断者在一定的规则提示下, 自行调整判断矩阵. 不
过, 在上述主观法
[5, 6 ]
中, 判断者实际上只能在规则的引导下, 被动地去选择由规则确定的某个元素. 并且
一旦选定某个元素, 调整随意性很大, 这就导致得到的调整方案往往更不合理. 比如文献[5, 6 ]中给出的
调整方案, 判断矩阵中的某些元素值调整后与调整前相差太大, 从根本上已经违背了判断者的最初意愿.
此外, 通过研究还发现, 对不满足一致性要求的判断矩阵, 用不同的方法求解, 虽说最后都能得到满足一致
性要求的调整方案, 但是, 不同的方法所得到的调整方案是不同的. 不过, 这一点也给我们一个启示: 即对
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
不满足一致性要求的判断矩阵, 确实存在多个调整方案——使调整后的判断矩阵满足一致性要求.
根据以上分析, 作者认为: 一种合理的调整方法, 应当让判断者参与判断矩阵的调整. 这是因为, 最初
的判断矩阵是由判断者构造出来的, 因此, 对判断矩阵的调整也应该尊重他们的意愿. 此外, 一种合理的
调整方法, 还应该能产生多个满足一致性要求的方案, 以便让判断者能够进行比较, 并从中选择他们认为
最满意的方案. 基于以上思考, 本文将设计出一种能满足以上两点要求的交互式的算法.
2 判断矩阵调整的新方法
在给出新的调整方法之前, 我们先研究一下具有完全一致性的判断矩阵的一些特性.
211 具有完全一致性判断矩阵的特性
假定有一组被比较对象: A
1
,A
2
,A
3
, …,A
n
, 它们的权重分别为:W
1
,W
2
,W
3
, …,W
n
, 构造判断矩阵A
如下: A =
(
a
ij
)
n×n
=
(
w
i
w
j
)
n×n
, 也即:
A =
W
1
W
1
W
1
W
2
W
1
W
3
… W
1
W
n
W
2
W
1
W
2
W
2
W
2
W
3
… W
2
W
n
W
3
W
1
W
3
W
2
W
3
W
3
… W
3
W
n
W
n
W
1
W
n
W
2
W
n
W
3
… W
n
W
n
矩阵A 各列的含义是: 第一列表示以A
1
为基准, 所有的被比较对象与A
1
的重要性之比所构成的列向量; 第
二列表示以A
2
为基准, 所有的被比较对象与A
2
的重要性之比所构成的列向量, …, 第n 列表示以A
n
为基准, 所
有的被比对象与A
n
的重要性之比所构成的列向量. 显然, 判断矩阵A 具有完全一致性, 即对于任意的 k, 都有
a
ij
= a
ik
× a
kj
, i, k, j Φ n, 并且用特征根法或“和积法”求得的权重就是W
1
,W
2
,W
3
, …,W
n
.
现对判断矩阵
A
的每一列作归一化处理, 得矩阵A ′为:
A ′=
W
1
W
1
W
1
… W
1
W
2
W
2
W
2
… W
2
W
3
W
3
W
3
… W
3
W
n
W
n
W
n
… W
n
矩阵A ′的含义是: 分别以A
j
(
j
= 1, 2, …, n
)
为基准, 然后用A
1
,A
2
, …,A
n
和它们进行重要性比较, 再
单 独计算每一组的权重: w
j
1
,w
j
2
, …,w
j
n
, j = 1, 2, …, n, 由此可以得到 n 个权重向量w
j
i
=
(
w
j
1
,w
j
2
, …,
w
j
n
)
T
, j = 1, 2, …, n; 那么, 这 n 个权重向量就是矩阵A ′中的第一列至第 n 列的 n 个列向量, 并且各组得
到的权重向量都相同 —— 它就是所有被比较对象的权重向量, 即: w
1
i
= w
2
i
= …= w
n
i
= w
i
. 此处w
j
i
(
j
=
1, 2, …, n
)
表示以A
j
为基准进行比较时,A
i
获得的权重; w
i
是A
i
的权重.
再对矩阵A ′作如下变换, 即选取其中的任何一个列向量, 用该向量的各分量除以矩阵A ′中所有的列
向量中与之对应的各分量 —— 该操作姑且称为“列向量除法”, 则得矩阵A ″:
A ″=
1 1 1 … 1
1 1 1 … 1
1 1 1 … 1
1 1 1 … 1
经过归一化处理和“列向量除法”以后, 得到的矩阵A ″中的每一个元素值都为 1. 由此可以得出如下
的定理.
定理 判断矩阵A 满足完全一致性的充要条件是: 对该判断矩阵的每一列分别作归一化处理和“列
向量除法”后, 得到的新矩阵A ″中的所有元素值都是 1.
证明 充分性: 设有一判断矩阵A =
(
a
ij
)
n×n
, 并且A 满足完全一致性. 由完全一致性可知, 对于任意
58
第 6 期
AH P
中不一致性判断矩阵调整的新方法
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的 k, 都有a
ij
= a
ik
×a
kj
, i, k, j Φ n. 令k = n; i, j = 1, 2, …, n, 由前面的等式可以得到下列n
2
个等式:
a
i1
= a
in
× a
n1
, a
i2
= a
in
× a
n2
, a
i3
= a
in
× a
n3
, …, a
in
= a
in
× a
nn
, i = 1, 2, …, n. 将以上得到的 n
2
个等
式的右式代入矩阵A , 然后对矩阵A 各列作归一化处理, 得矩阵A ′=
(
a
′
ij
)
n×n
, 且 a
′
ij
= a
in
(
a
1n
+ a
2n
+ …
+ a
nn
)
. 对于矩阵A
′, 再用其第一列中的各分量
(
或其它任何一列
)
分别除以每一列中对应的各分量, 得矩
阵A ″, 此时, 矩阵A ″所有的元素 a
″
ij
都为 1. 充分性证毕.
必要性: 已知某一判断矩阵A 经过归一化处理和“列向量除法”后, 所有的元素都为 1, 那么, 该判断矩
阵的秩应该为 1. 下面用反证法证明必要性. 假定原判断矩阵不具有完全一致性, 那么, 一定存在某一个 k
和 a
ik
, 使得下列不等成立: a
ij
≠ a
ik
× a
kj
. 现分别取 j = 1, 2, …, n, 可得下列 n 个不等式: a
i1
≠ a
ik
× a
k1
,
a
i2
≠ a
ik
× a
k2
, …, a
in
≠ a
ik
× a
kn
. 根据上面 n 个不等式可知, 矩阵A 中的第 k 行和第 i 行不成比例, 故矩
阵A 的秩至少为 2, 与已知矛盾. 因此, 假设不成立, 也即原判断矩阵A 具有完全一致. 必要性证毕.
212 不满足一致性要求的判断矩阵调整方法
由 211 的分析可知, 对任何一个判断矩阵A , 先对其各列作归一化处理, 然后再用归一化后的任何一
列的中各分量, 分别除以矩阵中所有列中的对应分量, 如果得到的新矩阵中所有的元素值都为 1, 则该判
断矩阵满足完全一致性要求
(
此时, CR = 0
)
; 如果该矩阵中的所有元素值都有接近 1, 则该判断矩阵的一
致性应该比较好
(
此时, CR < 011
)
; 如果某些元素值与 1 偏差较大, 则该判断矩阵的一致性比较差
(
此时,
CR Ε 011
)
, 则需要对该矩阵进行调整. 对调整后的判断矩阵再重新计算其一致性指标CR , 如果CR 小于
011, 则调整结束; 否则, 重复以上步骤, 直至满足一致性要求. 这就是本文新算法的设计思路.
此外, 根据第 1 部分的分析, 本文将要给出的新算法的指导思想是: 新算法既要保证调整后的判断矩
阵满足一致性要求, 又要在调整过程中充分尊重判断者的意愿. 为此, 新的算法首先将给出一定的规则,
然后由规则提示应该调整的元素 a
ij
, 如果判断者认为规则提示的元素应该调整, 则按有关规则调整该元
素 a
ij
及其互反元素 a
j i
的值; 如果判断者认为规则提示的元素不能修改
(
即判断者认为自己以前所做出的
判断是正确的
)
时, 规则应该能给出新的提示, 如此等等, 直到符合一致性要求的合理的调整方案出现. 如
果觉得有必要的话, 再重启动算法, 对原判断矩阵搜索其它合理的调整方案.
根据以上分析, 本文调整判断矩阵的算法如下:
Step
0 输入已构造出来的判断矩阵A 的阶数n 及其值a
ij
, 并打印输出A
(
打印输出A , 主要是为了给
判断者在后面选择调整元素时提供参考
)
.
Step
1 计算判断矩阵A 的一致性指标CR , 如果CR 小于 011, 则结束调整, 转
Step
6; 否则, 转
Step
2.
Step
2 对判断矩阵A 作归一化处理, 设归一化后的矩阵为A ′
A ′=
(
a
′
ij
)
n×n
, 其中 a
′
ij
= a
ij
∑
n
i= 1
a
ij
(
j
= 1, 2, …, n
)
Step
3 以A ′中的任何一列向量
(
不妨取第一列
)
的各分量, 除以矩阵A ′的每一列列向量中的对应分
量, 得矩阵A ″
(
a
ij
)
n×n
, 其中 a
″
ij
= a
′
ij
a
′
i1
; i, j = 1, 2, …, n. 打印输出A ″
(
打印输出A ″, 也是为了给判断
者在后面选择调整元素时提供参考
)
.
A ″=
1 a
′
12
a
′
11
a
′
13
a
′
11
… a
′
1n
a
′
11
1 a
′
22
a
′
21
a
′
23
a
′
21
… a
′
2n
a
′
21
1 a
′
32
a
′
31
a
′
33
a
′
31
… a
′
3n
a
′
31
1 a
′
n2
a
′
n1
a
′
n3
a
′
n1
… a
′
nn
a
′
n1
注 1 A ″中除第一列元素 a
″
i1
均为 1 之外, 其它各列的元素a
″
ij
要么大于 1, 要么小于 1, 要么等于 1. 并
且 a
″
i1
的大小不同, 含义也不同. 说明如下:
元素 a
″
ij
大于 1, 说明在判断矩阵A 中, 与第一列
(
参照列
)
中的 a
i1
相比, 第 i 个被比较对象与第 j 个被
比对象的重要性之比的值 a
ij
在第 j 列中取得过大, 以致于第 i 个被比较对象在第 j 列中的权重w
j
i
(
判断矩
阵完全一致时,w
j
i
就等于第 i 个被比较对象的权重w
i
)
大于第 i
个被比较对象在第一列中的权重w
1
i
(
判断
矩阵完全一致时,w
1
i
也等于w
i
)
, 因此, 为了使第 i
个被比较对象在各列的权重保持大至相等, a
ij
应该减小.
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