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- 1 -
数学概念与公式
初中基础知识：
1. 相反数、绝对值、分数的运算；
2. 因式分解：
提公因式：xy-3x=(y-3)x
十字相乘法 如：
)2)(13(253
2
xxxx
配方法 如：
8
25
)
4
1
(232
22
xxx
公式法：（x+y）
2
=x
2
+2xy+y
2
(x-y)
2
=x
2
-2xy+y
2
x
2
-y
2
=(x-y)(x+y)
3. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法：
（1） 代入法
（2） 消元法
6.完全平方和（差）公式：
222
)(2 bababa
222
)(2 bababa
7.平方差公式：
))((
22
bababa
8.立方和（差）公式：
))((
2233
babababa
))((
2233
babababa
第一章 集合
1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。
2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。
注：
描述法
},|
取值范围元素性质
元素
｛ xxx
；另重点类型如：
｝｛ ]3,1(,13|y
2
xxxy
3. 常用数集：
N
（自然数集）、
Z
（整数集）、
Q
（有理数集）、
R
（实数集）、
*
N
（正整
数集）、
Z
（正整数集）
4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：
（1） 元素与集合是“
”与“
”的关系。
（2） 集合与集合是“
” “ ”“
”“
”的关系。
注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑
是否满足题意）
（2）一个集合含有
n
个元素，则它的子集有
n
2
个，真子集有
12
n
个，非空真子集有
22
n
个。
5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）
（1）
}|{ BxAxxBA 且
：
A
与
B
的公共元素（相同元素）组成的集合
（2）
}|{ BxAxxBA 或
：
A
与
B
的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。
- 2 -
（3）
AC
U
：
U
中元素去掉
A
中元素剩下的元素组成的集合。
注：
BCACBAC
UUU
)(
BCACBAC
UUU
)(
6. 逻辑联结词：
且（
）、或（
）非（
）如果……那么……（
）
量词：存在（
） 任意（
）
真值表：
qp
：其中一个为假则为假，全部为真才为真；
qp
：其中一个为真则为真，全部为假才为假；
p
：与
p
的真假相反。
（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”
假为假，假“推”真假均为真。）
7. 命题的非
（1）是
不是
都是
不都是（至少有一个不是）
（2）
……，使得
p
成立
对于
……，都有
p
成立。
对于
……，都有
p
成立
……，使得
p
成立
（3）
qpqp )(
qpqp )(
8. 充分必要条件
p
是
q
的……条件
p
是条件，
q
是结论
p q
充分
不必要
的充分不必要条件是qp
（充分条件）
p q
不充分
必要
的必要不充分条件是qp
（必要条件）
p q
充分
必要
的充分必要条件是qp
(充要条件)
p q
不充分
不必要
件的既不充分也不必要条是qp
第二章 不等式
1. 不等式的基本性质：
注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：
2008200920092010 与
（倒数法）等。
（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！
- 3 -
（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。
2. 重要的不等式：（
均值定理）
（1）
abba 2
22
，当且仅当
ba
时，等号成立。
（2）
),(2
Rbaabba
，当且仅当
ba
时，等号成立。
（3）
),,(3
Rcbaabccba
，当且仅当
cba
时，等号成立。
注：
2
ba
（算术平均数）
ab
（几何平均数）
3. 一元一次不等式的解法
4. 一元二次不等式的解法
（1） 保证二次项系数为正
（2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：
（3） 定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；
小于两根之间
注：若
00 或
，用配方的方法确定不等式的解集。
5. 绝对值不等式的解法
若
0a
，则
axaxax
axaax
或||
||
6. 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为 0.
第三章 函数
1. 映射:
一般地，设
BA、
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的任何一个元素，
在集合
B
中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合
A
到集合
B
的映射，记作：
BAf :
。
注：理解原象与象及其应用。
（1）
A
中每一个元素必有惟一的象；
（2）对于
A
中的不同的元素，在
B
中可以有相同的象；
（3）允许
B
中元素没有原象。
2. 函数:
（1） 定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。
（2） 函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。
注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
3. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则
（1）
定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的
x
的取值范围
主要依据：
1
分母不能为 0
2
偶次根式的被开方式
0
3
特殊函数定义域
- 4 -
0,
0
xxy
Rxaaay
x
),10(, 且
0),10(,log xaaxy
a
且
)(,
2
,tan Zkkxxy
（2）
值域的求法：
y
的取值范围
1 正比例函数：
kxy
和 一次函数：
bkxy
的值域为
R
2 二次函数：
cbxaxy
2
的值域求法：配方法。如果
x
的取值范围不是
R
则还需画图
像
3 反比例函数：
x
y
1
的值域为
}0|{ yy
4
dcx
bax
y
的值域为
}|{
c
a
yy
5
cbxax
nmx
y
2
的值域求法：判别式法
6
另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
（3） 解析式求法：
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
4. 函数图像的变换
（1） 平移
)()( axfy
a
xfy
个单位
向右平移
)()( axfy
a
xfy
个单位
向左平移
axfy
a
xfy )()(
个单位
向上平移
axfy
a
xfy )()(
个单位
向下平移
（2） 翻折
)()( xfy
x
xfy
上、下对折
轴沿
|)(|)( xfy
x
xfy
下方翻折到上方
轴上方图像保留
)||()( xfy
y
xfy
右边翻折到左边
轴右边图像保留
5. 函数的奇偶性:
（1） 定义域关于原点对称
（2） 若
)()( xfxf
奇 若
)()( xfxf
偶
注：①若奇函数在
0x
处有意义，则
0)0( f
②常值函数
axf )(
（
0a
）为偶函数
- 5 -
③
0)( xf
既是奇函数又是偶函数
6.
函数的单调性:
对于
],[
21
baxx 、
且
21
xx
，若
上为减函数在称
上为增函数在称
],[)(),()(
],[)(),()(
21
21
baxfxfxf
baxfxfxf
增函数：
x
值越大，函数值越大；
x
值越小，函数值越小。
减函数：
x
值越大，函数值反而越小；
x
值越小，函数值反而越大。
复合函数的单调性：
))(()( xgfxh
)(xf
与
)(xg
同增或同减时复合函数
)(xh
为增函数；
)(xf
与
)(xg
相异时（一增一减）复合函
数
)(xh
为减函数。
注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。
7. 二次函数:
（1）二次函数的三种解析式:
①一般式：
cbxaxxf
2
)(
（
0a
）
②
顶点式：
hkxaxf
2
)()(
（
0a
），其中
),( hk
为顶点
③两根式：
))(()(
21
xxxxaxf
（
0a
），其中
21
xx 、
是
0)( xf
的两根
（2）图像与性质:
二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：
1
开口
0a
开口向上
0a
开口向下
2
对称轴：
a
b
x
2
3
顶点坐标：
)
4
4
,
2
(
2
a
bac
a
b
4
与
x
轴的交点：
无交点
交点有
有两交点
0
10
0
5
一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理）
a
c
xx
a
b
xx
21
21
6
cbxaxxf
2
)(
为偶函数的充要条件为
0b
7
二次函数（二次函数恒大（小）于 0）
0)(xf
轴上方图像位于x
a
0
0
sharesb
m0_72658779
qq_53651477
riverrrrrrrr
qq_35394671
2301_79849925
2301_81389035
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