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资源介绍:

高等工程数学习题解答与提示
高等工程数学
习题解答与提示
(教师内部参考)
教材——
南京理工大学高等工程数学编写组,高等工程数学讲义,20187.
习题解答与提示 1
习题解答与提示 9
习题解答与提示 21
习题解答与提示 29
习题解答与提示 35
习题解答与提示 47
习题解答与提示 51
习题解答与提示 55
i
高等工程数学 第一章习题解答与提示 1
习题题解解答答与与提提示
1. 分别证明例1.1-1.4定义的距离都满足距离的三个条件。
证明:1.1定义的离散距离满足距离都的三个条件是显然的,在此略去;
1.2d
1
, d
满足非负性、对称性由定义可以直接得到,由于绝对值满足三角
不等式,所以d
1
, d
也满足三角不等式; 1.2d
2
满足非负性、对称性由定义
可以直接得到,取Minkowski不等式(见1.6节)p = 2即可证d
2
满足三角不
等式;
1.3d
p
足非对称可以到,Minkowski等式
可证明d
p
满足三角不等式;
1.4d
负性接得
绝对值的三角不等式,容易得到d
满足三角不等式。
2. 证明极限的性质1.1
证明:利用距离的三角不等式得:
d(x
n
, y
n
) d(x
0
, y
0
)d(x
n
, y
n
) d(y
n
, x
0
) + d(y
n
, x
0
) d(x
0
, y
0
)
d(x
n
, x
0
)) + d(y
n
, y
0
)) 0,
从而
lim
n→∞
d(x
n
, y
n
) = d(x
0
, y
0
).
x
0
, y
0
X都是点列{x
n
}的极限,则利用三角不等式得:
d(x
0
, y
0
) d(x
0
, x
n
) + d(x
n
, y
0
)
n d(x
n
, x
0
) 0, d(x
n
, y
0
) 0,因此 d(x
0
, y
0
) = 0x
0
= y
0
3. 证明定理1.1
证明:(1) = (2),由于T 是连续的,从而对ε > 0,存在δ > 0,当 d
X
(x, x
0
) <
δd
Y
(T x, T x
0
) < ε x
n
x
0
(n )δ > 0
Nn > N d
X
(x
n
, x
0
) < δ,所以d
Y
(T x
n
, T x
0
) < ε,T x
n
T x
0
(n
) T x
n
T x
0
(n )
(2) = (1)T x
0
ε
0
> 0使δ > 0
x
δ
X d
X
(x
δ
, x
0
) < δ d
Y
(T x
δ
, T x
0
) ε
0
δ =
1
n
, (n =
2 高等工程数学 第一章习题解答与提示
1, 2, ···) x
n
Xd
X
(x
n
, x
0
) <
1
n
d
Y
(T x
n
, T x
0
) ε
0
x
n
x
0
(n ),但T x
n
T x
0
(n )不成立,矛盾。
4. 证明例1.16
(1).X{x
n
} XX
{x
n
} X现无穷多次,记该元素x
0
而在{x
n
}中可以选取子列,使
得该子列每项都是x
0
显然该子列是收敛的。
(2).{x
n
} [a, b][a, b]
{x
n
} [a, b]
[a
1
, b
1
]{[a
n
, b
n
]}
每一个闭区间都含有{x
n
} [a, b]中无穷多个元素,并且
[a
n
, b
n
] [a
n+1
b
n+1
], n = 1, 2, ··· , b
n
a
n
0(n ).
从而存在唯一一点x
0
[a, b],使得对任何nx
0
[a
n
, b
n
](该性质称为闭区间套
定理)。根据构造,我们可以[a
n
, b
n
]中选取{x
n
} 互异的子列{x
n
k
},显然
点列以x
0
为极限。
(3). 略。
(4). A R
n
为有界闭集,按照(2)的方法,可以同样证明A紧集。若A为紧
A(3)AA
中一个点,使之发散到穷,该点就不存在收敛列。如果A是闭
x
0
An B(x
0
,
1
n
) {A {x
0
}} =
选取,可以得到点列{x
n
}使得当n = mx
n
= x
m
x
n
B(x
0
,
1
n
) {A {x
0
}}
根据构造可知{x
n
}A中不收敛,因为{x
n
}收敛到A的边界点x
0
5. 证明定理1.7
证明(1) A距离X的列集,{x
n
} A{x
n
}各点
{x
n
}A{x
n
} A = {x
n
k
}AA
包含A有聚,可得到{x
n
k
}A中有敛子,从{x
n
}A中有
{x
n
}A{ x
n
}A
{x
n
} {x
n
k
}x
n
k
y
k
A使
d(x
n
k
, y
k
) <
1
k
A A A {y
k
}
A中的收敛子列{y
k
m
},根据构造可以得到x
n
k
m
A中收敛。 所以A为紧集。
(2) 假设A是距离空X中的列紧集,B A。若{x
n
} B A,则由于A
紧的,从而{x
n
}有子列 收敛到X中,根据定义可知B为列紧集。
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